Cách tính thiên đỉnh ngày mặt trời lên thiên đỉnh vào lúc 12h trưa

Hôm nay đọc bài: Cách tính ngày mặt trời lên thiên đỉnh thấy có điều gì đó không ổn. Ban đầu thấy cách tính này khá hợp lý nhưng càng nghĩ càng thấy không ổn. Vậy là mình lần mò tự ngồi tính lại xem sao.
- Suy ngẫm 1: Nếu ta nhìn 1 cái quạt đang để chế độ quay túp năng thì rõ ràng về đến 2 rìa thấy cổ quạt quay chậm hơn. Ngồi ở góc này thấy được quạt mát lâu hơn. Vậy thì liệu Mặt trời di chuyển từ bán cầu bắc sang bán cầu nam hoặc ngược lại có phải cứ mỗi ngày thay đổi vĩ tuyến như nhau không?  Hay là gần chí tuyến thì sự thay đổi này chậm lại?
- Suy ngẫm 2: Hỏi anh google cho chắc cái cụm từ Zenith calculation xem "Tây" nó có nói giống bài trên không thì nó đưa ra các loại công thức. Nào là tính đến quỹ đạo hình Elip, nào là góc khúc xạ do khí quyển, nào là trái đất k phải hình cầu, nào là các con số thập phân dài loằng ngoằng.
- Suy ngẫm 3: Nếu vậy thì phức tạp quá. Mình chỉ định xác định ngày thôi nghĩa là sai số tới 24h cơ mà. Đưa ra mấy giả thiết để tính toán cho dễ: (i) Quỹ đạo quay của Trái đất là hình tròn nhận Mặt trời làm tâm (chứ không phải quỹ đạo hình Elip nhận Mặt trời làm 1 trong 2 tiêu điểm); (ii) Trái đất cũng được giả thiết là hình cầu; (iii) bỏ qua khúc xạ cho dễ vì tính thiên đỉnh vào 12h trưa thì mặt trời đứng bóng, khúc xạ k đáng kể. Nếu vậy thì bài toán hình học sẽ đơn giản đi nhiều rồi. Bắt đầu tính nào:

Khi đó mặt phẳng quỹ đạo sẽ cắt mặt phẳng xích đạo với 1 góc bằng góc nghiêng của Trái đất là 23.45 Degrees. Giao tuyến là đường nối 2 điểm xuân phân và thu phân.
Chọn hệ trục tọa độ:
- Mặt Oxy là mặt phẳng xích đạo nhận tâm Trái đất làm gốc tọa độ. Trục Oz là trục quay của Trái đất (red)
- Trục Ox là trục nối 2 điểm Xuân phân - Thu phân (blue); Trục Oy là hình chiếu của đường Hạ chí - Đông chí (nằm trên mặt phẳng quỹ đạo) chiếu lên mặt phẳng xích đạo.

Giả sử cần tính ngày Mặt trời lên Thiên đỉnh (Ngày TĐ) cho vị trí Mylocation có vĩ độ là A (degree) ta có:
1. Khoảng cách từ Mylocation đến mặt phẳng xích đạo là R*sin(A) với R: bán kính trái đất.
2. Mặt khác, nếu tính theo ngày di chuyển của Trái đất thì ta có:
- Một năm có 365 ngày Trái đất bay đều quanh mặt trời hết 1 vòng (360) với vận tốc góc là  360/365 (degree). Vây tại Ngày TĐ thì Trái đất đã bay được 1 góc là NgàyTĐ*360/365.
- Nếu so với trục Ox thì góc này là B=(NgàyTĐ - Ngày Xuân Phân)*360/365 trên ảnh là cung màu hồng
- Chiếu vị trí Mylocation lên trục Hạ chí- Đông chí (màu green) thì khoảng cách của Mylocation đến tâm TĐ nhìn theo phương Hạ chí - Đông chí là R*sin(B).
- Do vậy chiếu Mylocation lên trục trái đất là R*sin(B)*sin(23.45) vì góc của trục Hạ chí- Đông chí tạo với mặt phẳng xích đạo 1 góc 23.45.

Do vậy ta có:
R*sin(A) = R*sin(B)*sin(23.45)
sin(B) = sin(A)/sin(23.45)


B1=arcsin[sin(A)/sin(23.45)]*360/(2*Pi) 
hay (NgàyTĐ - Ngày Xuân Phân)*360/365=arcsin[sin(A)/sin(23.45)]*360/(2*Pi)
NgàyTĐ1= Ngày Xuân Phân + 365*arcsin[sin(A)/sin(23.45)]/(2*Pi)


B2= 180- arcsin[sin(A)/sin(23.45)]*360/(2*Pi)
NgàyTĐ2= Ngày Xuân Phân + 365*{Pi-arcsin[sin(A)/sin(23.45)]}/(2*Pi)


Ngày Xuân phân là 20 - 21/3

Ta sẽ có kết quả so sánh với cách tính ở bài trên http://www.thptkontum.edu.vn/index.php?option=com_content&view=article&id=403:cach-tinh-ngay-mat-troi-len-thien-dinh&catid=83:van

Địa điểm	Vĩ Độ DDMM	Vĩ Độ Decimal Degree	LẦN I	Ngày TĐ1	Chênh lệch	LẦN II	Ngày TĐ2	Chênh lệch
CẦN THƠ	10002’B	10.03333	30/04	16/04	14	14/08	24/08	-10
NHA TRANG	12015’B	12.25000	09/05	22/04	16	05/08	17/08	-13
HUẾ	16026’B	16.43333	25/05	05/05	19	20/07	04/08	-16
HÀ NỘI	21002’B	21.03333	13/06	25/05	19	01/07	16/07	-15
TP. HCM	10047’B	10.78333	03/05	18/04	15	11/08	22/08	-11
KON TUM	14020’B	14.33333	17/05	29/04	18	28/07	11/08	-14
Xuân phân/Thu phân	0	0		21/03			19/09
Hạ Chí		23.45		20/06			20/06
Đông Chí		-23.45		20/12			19/12

Như vậy, với những vị trí gần với xích đạo(như Cần Thơ) thì sai lệch nhỏ, với những vị trí xa xích đạo thì sai lệch ngày càng lớn (Hà Nội).

Với cách tính như vừa trình bày thì sai lệch chỉ 1-2 ngày so với thực tế. 

Lý do sai số chính là (i) các giả thiết đưa ra và (ii) làm tròn trong quá trình tính toán. 

Đây chỉ là ý kiến chủ quan của mình. 

Với ai tham khảo bài viết này xin đăng nguồn trích dẫn.